Алгебра высказываний

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.)

Логическая переменная – это простое высказывание.
 Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

 Пример высказываний:
 
 
 
 
 
 
 
 
Логическая функция – это сложное высказывание, которое получается в результате проведения логических операций над простыми высказываниями.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Например,
 
 

Многие люди  не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

 

                                                                      Основные (базовые) логические операции:

1. Логическое умножение (конъюнкция), от лат. konjunctio – связываю:
•    Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;
•     в языках программирования - And.
•    Принятые обозначения: /\ , •, и, and.
•    В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.

 
 
 
 
 
 
Конъюнкция истинна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания истинны.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание  «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio – различаю:
•    Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;
•     в языках программирования - Or.
•    Обозначение:  \/, +, или, or.
•    В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.

 
 
 
 
 
 
Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания ложны.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание  «2 • 2 = 4 или 2 • 2 = 5». Выделим простые выска-зывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «2 • 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.


3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю:

•    Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО;
•    в языках программирования - Not;
•    Обозначение: не А, ¬А, not
•    В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.
 
 
 
 
 
 
Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

 Пример:

А = {два умножить на два равно четырем} = 1.

 ¬A= {Неверно, что два умножить на два равно четырем}= 0.

Рассмотрим высказывание А : "Луна — спутник Земли";  тогда   ¬А будет формулироваться так:  "Луна — не спутник Земли".

Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид ¬А

 

Приоритет логических операций:

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:
     1. инверсия;
     2. конъюнкция;
     3. дизъюнкция;
Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Составные логические выражения алгебры высказываний называют формулами.
Истинно или ложно значение формулы можно определить законами алгебры логики, не обращаясь к смыслу:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - истина
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - ложь