Примеры решения задач “Алгебра высказываний”

№1.

Определите значения следующих логических переменных:

1)  А = « Два умножить на два равно пяти»
2)   В =  «Всякий квадрат есть параллелограмм»
3)   С = «Всякий параллелограмм есть квадрат»

 Ответ: А =0, В = 1, С = 0

№2.

Определите значение истинности следующих высказываний:

1)   Высказывание “10 делится на 2 и 5 больше 3”
2)   Высказывание “10 делится на 2 и 5 не больше 3» 
3)   Высказывание “10 не делится на 2 и 5 больше 3”  
4)   Высказывание “10 не делится на 2 и 5 не больше 3”

Ответ:
1)   истинное высказывание (1/\1=1)
2)    ложное  высказывание(1/\0=0)
3)    ложное  высказывание (0/\1=0)
4)    ложное  высказывание (0/\0=0)

№3.

Запишите логические функции, соответствующие данным сложным высказываниям (в задании использовались строки из стихов А. С. Пушкина):

1). Мне вас не жаль, года весны моей.
2). На холмах Грузии лежит ночная мгла;
      Шумит Арагва предо мною…
3). Унынья моего ничто не мучит, не тревожит.
4). Мне не спится, не огня;
     Всюду мрак и сон докучный.

 Ответ:
1)                 F(A) = не А
2)                  F(A, В) = А и В
3)                  F(A, В) = не А и не В
4)                  F(A, В, C, D) = не А и не В и С и D
 

№4.

Представьте  данное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» в виде логической формулы.

Решение:  Обозначим через А простое высказывание «Число 6 делится на 2» – истинное высказывание, через В – «Число 6 делится на 3»- истинное высказывание. Простые высказывания соединены связкой  и (конъюнкция), очевидно логическая формула имеет вид     А /\ В. Ее значение  ((1/\1=1) – истина.
 



№5.

Даны два высказывания: А={3+2=5} и B={круг имеет форму прямоугольника}. Определите, чему равны составные высказывания:

1)    А /\ B  
2)    A \/ B  

 
Ответ:
1)    0
2)    1

 №6.

Определите истинность составного высказывания: (¬А /\¬B) /\ (C \/ D), состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

 Решение:
Сначала устанавливаем истинность простых высказываний:   А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
Затем определим истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:  (ø1/\ø0) /\ (1\/ 0) = (0 /\1) /\ (1 \/ 0) = 0
Ответ: (¬1/\¬0) /\ (1\/ 0) = (0 /\1) /\ (1\/ 0) = 0  – составное высказывание ложно.

 

№7.

Определите истинность составного высказывания:

«(2 * 2 = 4 /\ 3 * 3 = 10)  \/  (2 * 2 = 5 /\ 3 * 3 = 9)» .
 
Решение
Замените простые высказывания логическими переменными и установите их истинность или ложность:
А: «2*2 = 4» — истинно (1),
В: «3*3 = 10 — ложно (0),
С: «2*2 = 5» — ложно (0),
D: «3*3 = 9» — истинно (1).

Замените также логические связки «и» и «или» операциями логического умножения и логического сложения. Тогда составное высказывание примет вид следующего логического выражения: (А /\ В) \/ (С /\ D).

Подставьте вместо логических переменных их логические значения и определите истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических функций:
(1/\ 0) \/ (0/\1) = 0 + 0= 0.
 Ответ:  составное высказывание ложно.