Примеры решения логических задач

№1.

Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет?

 

Решение: Определим следующие простые высказывания:

А – «Саша играет в шахматы»;

В – «Сергей играет в шахматы»;

С – «Дима играет в шахматы»;

D – «Андрей играет в шахматы».

 

Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:

а) F1=(А \/ B) =>¬C;

б) F2=¬B => (С /\ D);

в) F3=C .

I способ: Запишем и упростим произведение указанных сложных высказываний:

((A \/ B) =>¬C) /\ (¬B => (С /\ D)) /\ С.

 

II способ: Составим таблицу истинности:

A

B

F3=C

D

 

¬C

A \/B

F1=(A \/B) =>¬C

 

¬B

С /\D

F2=¬B =>/\D)

0

0

0

0

           

0

0

0

1

           

0

0

1

0

           

0

0

1

1

           

0

1

0

0

           

0

1

0

1

           

0

1

1

0

           

0

1

1

1

           

1

0

0

0

           

1

0

0

1

           

1

0

1

0

           

1

0

1

1

           

1

1

0

0

           

1

1

0

1

           

1

1

1

0

           

1

1

1

1

           

 

При F1 = F2 = F3 = 1 значения переменных соответствуют: А = 0, В = 0, С = 1, D = 1.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.

 


№2.

«Ваза» Условие задачи:

Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

‑ Кто это сделал? ‑ спросила мама.

‑ Коля не бил по мячу, ‑ сказал Саша. ‑ Это сделал Ваня.

Ваня ответил: ‑ Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.
‑ Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, ‑ рассердилась мама. ‑ Ну, а ты что скажешь? ‑ спросила она Колю.
‑ Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, ‑ сказал Коля.
Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду.

Кто разбил вазу?

 

Решение (способ 1,алгебраический):

Обозначим высказывания:

А = «Коля разбил вазу»

В = «Ваня разбил вазу»

С = «Саша разбил вазу»

D = «Коля сегодня сделал уроки»

 

Согласно условию задачи, один из мальчиков солгал, а двое других говорили правду. Поэтому, если мы сложим записи истинного и ложного высказываний, составленных для каждого мальчика, то получим истинное высказывание.

Из слов Саши следует, что (¬А /\ B) \/ (А /\¬B) истинно;

Из слов Вани следует, что (А /\¬C) \/ (¬А /\ C) истинно;

Из слов Коли следует, что (¬В /\¬D) \/ (В /\ D) истинно.

Следовательно, истинна и конъюнкция

((¬А /\ B) \/ (А /\¬B)) /\ ((А /\¬C) \/ (¬А /\ C)) /\ ((¬В /\¬D) \/ (В /\ D)) = 1

 

Раскрывая скобки, получим:

((¬А /\ B) \/ (А /\¬B)) /\ ((А /\¬C) \/ (¬А /\ C)) /\ ((¬В /\¬D) \/ (В /\ D)) =

(¬AB \/A¬B) /\ (A¬C \/¬AC) /\ (¬B¬D \/ BD) = (A¬B¬C \/¬ABC) /\ (¬B¬D \/ BD) =

 

A¬B¬C¬B¬D \/¬ABC¬B¬D \/ A¬B¬CBD \/¬ABCBD = A¬B¬C¬D \/¬ABCD =

= A¬B¬C¬D = 1, следовательно, А=1. Т.е. Коля разбил вазу.

Ответ: Коля

 

Решение (способ логических рассуждений)

 

Предположим, что Саша сказал правду: Коля не разбивал вазу, вазу разбил Ваня. Из двух оставшихся мальчиков кто-то дважды солгал. Допустим, Ваня тоже сказал правду: Коля разбил вазу, Саша вазу не разбивал. Но это противоречит словам Саши. Тогда допустим, что Ваня дважды солгал. Тогда получается, что Коля не разбивал вазы, а вазу разбил Саша. Но это снова противоречит словам Саши. Следовательно, дважды солгал именно Саша, а Ваня и Коля говорили правду, т.е. вазу разбил Коля.

Ответ: Коля

 

№3.

Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо французский язык, либо оба эти языка. Английский язык изучают 25 человек, французский - 27 человек, а то т и другой - 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

 

Решение с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Английский язык изучают 7 учеников, французский - 9, и то т и другой 18, получаем, что всего в классе 7+9+18 = 34 ученика в классе.

Ответ: в классе 34 ученика.

 

№4.

«Сосуд» Условие задачи:

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по 2 предположения:

Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке».

Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке».

Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений.

Где и в каком веке изготовлен сосуд?

 

Решение:

 При решении задач с помощью таблицы можно рассуждать так:

Пусть

Алеша: «Этот сосуд греческий и изготовлен в V веке» = А.

Боря: Этот сосуд финикийский и изготовлен в III веке» = Б.

Гриша: «Этот сосуд не греческий и изготовлен в IV веке» = Г.

 

 

3 век

4 век

5 век

греческий

А, Б

А, Г

 

финикийский

Г

Б

А, Б, Г

Вывод: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке.

Ответ: сосуд финикийский изготовлен в 5 веке.