Примеры решения задач “Логические выражения и таблица истинности”

 №1.

Докажите, что А <=> В равносильно (A\/ ¬B) /\ (¬A\/ B)

 Для доказательства равносильности двух высказываний достаточно построить таблицу истинности для высказывания (A\/ ) /\ (\/ B) и сравнить ее с таблицей истинности эквивалентности:

А

В

¬B

A\/¬B

¬A

¬AVB

(A\/¬B) /\ (¬A \/B)

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

Последние столбцы этих функций совпадают, значит, они равносильны. ЧТД.

 

№2.

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению 

A /\ ¬ (¬B \/ C)

   1) ¬A \/ ¬B \/ ¬C

   2) A /\ ¬B /\ ¬C  

   3) A /\ B /\ ¬C 

   4) A /\ ¬B /\ C

Ответ:  3



№3.

Постройте таблицу истинности для логического выражения:

1)A=>B<=> ¬А \/  B 

Ответ:

А

В

A=>B

¬А

A → B<=> ¬А

A → B<=> ¬А \/  B

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

2)F=A<=>B<=>(¬А \/  B) /\ (¬B\/  А)

Ответ:

 

 

 

 

 

№4.

Определите истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

Решение:

Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «За окном светит солнце»

В = «За окном дождь»

 Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B) = A /\ ¬B

построим таблицу истинности для данной логической функции.

A

B

¬B

A /\ ¬B

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

 Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

 

№5.

Определите истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

Решение:

Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

А = «Гости смеялись»

В = «Гости шутили»

С = «Гости расходились по домам»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B, С) = A/\ B /\¬C

Построим таблицу истинности для данной логической функции.

 

A

B

C

¬C

A /\ B/\¬C

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0



Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

 

№6.

На языке алгебры логики составьте истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи:

Школьника, Миша, остававшийся в классе на перемене, был вызван к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчик ответили следующее: «Я не бил окно, и Коля тоже…»

Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.

Решение:

Пусть

А = «Окно разбил Миша»

В = «Окно разбил Коля»

Если Миша сказал чистую правду, то¬А /\ ¬В = 1.

Если в одной части заявления Миша соврал, а другое его высказывание истинно, то (¬А /\ В) \/ (А /\¬В) = 1

Если Миша оба факта исказил, то А /\ В = 1.

Ответ:

Истинное тождество, соответствующее условию задачи будет выглядеть так: ¬А /\ ¬В  \/¬А /\ В \/А /\ ¬ В \/ А /\ В = 1.